MMAF 9, Fasc. 1 (1892)

MINISTÈRE DE L’INSTRUCTION PUBLIQUE ET DES BEAUX-ARTS

MÉMOIRES

PUBLIÉS

PAR LES MEMBRES

DE LA

MISSION ARCHEOLOGIQUE FRANÇAISE

AU CAIRE

SOUS LA DIRECTION DE M. U. BOURIANT

TOME NEUVIÈME

I er Fascicule
J. BAILLET

LE PAPYRUS MATHÉMATIQUE D’AKHMIM

U. BOURIANT

fragments du texte grec du livre d’énoch

et DE QUELQUES ÉCRITS ATTRIBUÉS A SAINT PIERRE

PARIS

ERNEST LEROUX, ÉDITEUR

LIBRAIRE DE LA SOCIÉTÉ ASIATIQUE

de l’école des langues orientales vivantes, de l’école du louvre, etc

28, RUE BONAPARTE, 28

1892

MÉMOIRES

PUBLIÉS PAR LES MEMBRES

DE LA

MISSION ARCHÉOLOGIQUE FRANÇAISE AU CAIRE

LE PUY-EN-VELAY. — IMPRIMERIE MARCHESSOU FILS

PAPYRUS MATHÉMATIQUE D’AKHMIM

PAR

J. BAILLET

.

.

K

* .

-

f

PAPYRUS MATHÉMATIQUE D’AKHMIM

TABLE

1° Généralités.

Intérêt du papyrus (i). Historique (2). Aspect (3). Date (3).

II 0 Paléographie

i° De l’alphabet. Diverses formes des lettres (4).

2° Numération et sigles numériques (8). Sigles des nombres entiers (9). Nombres
multiplicatifs (xo). Numération des fractions. Sigles des fractions, formes diverses,
double accent, 2/3, (10). Nombres ordinaux, sommes de fractions, nombres
fractionnaires (12).

3° Vocabulaire mathématique et abréviations (12). ^7jtpo<; (13). xdc6ap<ji<; (14).

No (15). (15).

4° Idiomatismes, fautes de prononciation ou de graphie (16).

III 0 Tables de division

i° Contenu des tables, — de 2/3 à 1/11 et après, — aptÔp.w (15).

2 0 Constitution des tables (20).

3 0 Usage des tables (22).

4° Texte et transcription (24).

IV 0 Problèmes. — Calcul des fractions

i° Composition du recueil '

Gradation des problèmes (32). Conjectures sur l’origine du maïïtrêem ^34). Intérêt
rétrospectif des calculs, erreur du problème 1 (35).

2° Opérations sur les fractions. Exposé systématique des divers procédés de calcul

§ 1 . Conséquences de la numération des fractions et de l’absence des numérateurs

( 35 ).

§ 2. Mepidfxoç, Division d’un nombre entier par un autre plus fort :

i° Par des soustractions (38); 2 0 par la formule (39); 3° par des soustractions et
la formule (40); 4 0 par simplification, etc. (41); 5 0 par plusieurs applications de
la formule (41); 6 ° par introduction dans la formule d’un facteur arbitraire (42).

§ 3. Addition (44). Conversion en quotient d’une somme de fractions (44) ou d’un
nombre fractionnaire (46).

lm 4

4-18

19-31

32-89

32-35

35-39

Il

TABLE *

§ 4. Décomposition d’une fraction en une somme de fractions équivalentes (Xwpta-

(47)*

§ 5. Soustraction. i re méthode (48). 2 me méthode (49).

§ 6. Multiplication, par une fraction (50), par un nombre fractionnaire (51).

§7. Proportions, problèmes d’intérêts, division des fractions. Donnée des problè-
mes (52). Le problème 28 (53). Solution (54).

§ 8. Proportions (suite), problèmes de partage, divers procédés pour éluder ou re-
tarder le calcul des fractions : i er ^type de problèmes (55). 6 cas divers (56);
2 me type (58). Substitutions et fausse position (59).

3 0 Comparaison avec le papyrus Rhind *

4 0 Texte des problèmes, transcription et traduction

60-62

63-89

PAPYRUS MATHÉMATHIQUE D’AKHMÎM

INTÉRÊT, HISTORIQUE, ASPECT ET DATE DU PAPYRUS.

Les papyrus d’Égypte nous feront des surprises, il faut l’espérer, longtemps
encore. A côté des textes égyptiens, il s’est trouvé des textes grecs. A côté des
textes religieux, on a découvert des textes littéraires, historiques, philosophiques,
puis dej contrats, des comptes, du plus haut intérêt pour l’étude de la vie quoti-
dienne et l’économie sociale ou privée du peuple égyptien à diverses époques.
Dernièrement a été exhumé un papyrus d’un nouveau genre : un livre de calculs.
Les manuscrits mathématiques anciens ne sont pas très communs : celui-ci, quel
qu’il soit, a donc son prix.

Pour le calcul proprement dit (les anciens distinguaient avec soin Y arithmétique,
ou science des propriétés des nombres, et la logistique, ou art des calculs), le der-
nier représentant de la tradition grecque aujourd’hui disparue, ouvrage cc unique dans
son genre », c étaient les deux Lettres arithmétiques du Byzantin Nicolas Artavasde,
de Smyrne, dit le Rhabdas, dont l’une fut écrite en 1341 *. Toutefois les origines
de cette science n étaient pas inconnues : les papyrus égyptiens avaient fourni un
Manuel du calculateur, du xvm e siècle avant Jésus-Christ \ Entre ces deux dates
extrêmes, le nouveau papyrus vient prendre place et marquer une étape. Les Égyp-

1. Paul Tannery, Notice sur les deux lettres arithmétiques de Nicolas Rhabdas. (Notices et Extraits des manuscrits
de la Bibliothèque Nationale, etc... Paris, Imprimerie Nationale, 1886.) — Je dois à M. Tannery plusieurs aper-
çus qui ont trouvé plqce dans ce mémoire : qu il me soit permis de l’en remercier.

2. Le papyrus Rhind du British Muséum, publié par Aug. Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten

Ægypten (Hinrich, Leipzig, 1877). v

2

J. BAILLET

tiens avaient été dans la science du calcul, comme dans les autres mathématiques,
les initiateurs des Grecs. Ceux-ci avaient inventé une numération écrite plus per-
fectionnée, des méthodes de multiplication et de division plus simples et plus
rapides; mais, à côté de leurs méthodes nouvelles, certains procédés égyptiens ont
survécu. Alors même que l’Occident latin, à la suite des Arabes, y a renoncé, ces
procédés n’ont pas cessé, jusqu’aux derniers jours de l’empire byzantin, d’être
employés en Orient et même exclusivement enseignés dans les écoles élémentai-
res. Cette coexistence des méthodes helléniques et égyptiennes est constatée, entre
autres, dans une scholie du Charmide de Platon \ Le papyrus nouveau nous fait
connaître le dernier état et les derniers perfectionnements des méthodes égyptien-
nes. Mieux que les calculs géométriques de la collection Héronienne \ dont -il se
rapproche comme date, il nous renseigne sur ces « sommations et décomposi-
tions de fractions » de la scholie, sur certains procèdes et artifices de calcul, îiéces-
sités par le système de numération fractionnelle, que l’on voit appliqués dans la
collection Héronienne, mais que sans lui nous ignorerions en réalité.

Ainsi ce papyrus offre l’intérêt capital de représenter le plus ancien document
connu actuellement sur l’enseignement pratique du calcul arithmétique chez les
Grecs. Soit que l’on veuille le comparer à son ancêtre égyptien, soit que l’on ; se
retourne vers des documents plus récents et vers la science moderne, il pourra nous
suggérer d’utiles réflexions et nous faire mieux apprécier le prix de certains progrès
lentement accomplis par l’humanité.

Il mérite donc que l’on fasse son histoire. L

Ce papyrus a été trouvé dans la nécropole d’Akhmîm, l’ancienne Panopolis, en
Haute-Égypte. Des fellahs l’avaient découvert ensemble : le partage du butin les
mit aux prises. Le papyrus est un article fort demandé sur le marché des antiquités
et les Arabes s’en exagèrent la valeur : chacun des auteurs de la trouvaille voulut se
l’attribuer tout entière. Leur dispute les trahit, le moudir, ou gouverneur de la
province, intervint; il les mit d’accord en confisquant l’objet de leur différend;
l’hiver suivant il le remit au directeur général des antiquités en Égypte, M. Grébaut,
à la gracieuse obligeance duquel j’en dois la communication. Le papyrus fut emporté
à Boulaq et se trouve aujourd’hui au Musée de Gizeh.

4

1. Platon, p. 512, 52. — Tannery, op. cit., p. 7.

2. Hultsch, Heronis A lexandrini geometricorum et stereometricorum reliquia. (Weidmann, Berlin, 1864.)

2

J. BAILLET

tiens avaient été dans la science du calcul, comme dans les autres mathématiques,
les initiateurs des Grecs. Ceux-ci avaient inventé une numération écrite plus per-
fectionnée, des méthodes de multiplication et de division plus simples et plus
rapides; mais, à côté de leurs méthodes nouvelles, certains procédés égyptiens ont
survécu. Alors même que l’Occident latin, à la Suite des Arabes, y a renoncé, ces
procédés n’ont pas cessé, jusqu’aux derniers jours de l’empire byzantin, d’être
employés en Orient et même exclusivement enseignés dans les écoles élémentai-
res. Cette coexistence des méthodes helléniques et égyptiennes est constatée, entre
autres, dans une scholie du Charmide de Platon '. Le papyrus nouveau nous fait
connaître le dernier état et les derniers perfectionnements des méthodes égyptien-
nes. Mieux que les calculs géométriques de la collection Héronienne 2 , dont al se
rapproche comme date, il nous renseigne sur ces « sommations et décomposi-
tions de fractions » de la scholie, sur certains procédés et artifices de calcul, néces-
sités par le système de numération fractionnelle, que l’on voit appliqués dans la
collection Héronienne, mais que sans lui nous ignorerions en réalité.

Ainsi ce papyrus offre l’intérêt capital de représenter le plus ancien document
connu actuellement sur l’enseignement pratique du calcul arithmétique chez les
Grecs. Soit que l’on veuille le comparer à son ancêtre égyptien, soit que 1 on se
retourne vers des documents plus récents et vers la science moderne, il pouna nous
suggérer d’utiles réflexions et nous faire mieux apprécier le prix de certains progrès
lentement accomplis par l’humanité.

Il mérite donc que l’on fasse son histoire. *

Ce papyrus a été trouvé dans la nécropole d’ Akhmîm, l’ancienne Panopolis, en
Haute-Égypte. Des fellahs l’avaient découvert ensemble : le partage du butin les
mit aux prises. Le papyrus est un article fort demandé sur le marché des antiquités
et les Arabes s’en exagèrent la valeur : chacun des auteurs de la trouvaille voulut se
l’attribuer tout entière. Leur dispute les trahit, le moudir, ou gouverneur de la
province, intervint; il les mit d’accord en confisquant l’objet de leur différend;
l’hiver suivant il le remit au directeur général des antiquités en Égypte, M. Grébaut,
à la gracieuse obligeance duquel j’en dois la communication. Le papyrus fut emporte
à Boulaq et se trouve aujourd’hui au Musée de Gizeh.

1. Platon, p. 512, 52. — Tannery, op. cit., p. 7.

2. Hultsch, Heronis Alexandrini geometrkorum et stcnometricorum rdiquia. (Weidmann, Berlin, 1864.)

PAPYRUS MATHÉMATHIQ.UE D’AKHMÎM

3

Le manuscrit se présentait sous une forme rare pour les papyrus, celle d’un livre
relié et non celle d’un volumen. Les pages mesuraient environ 315 millimètres sur
275. La couverture était de cuir dur. D’ailleurs, couverture et pages du papyrus ne
formaient qu’un seul bloc; l’adhérence était parfaite et parfois l’existence de deux
feuilles superposées ne se soupçonnait qu’à l’épaisseur; des soins minutieux ont
été nécessaires pour les séparer et rendre à chaque feuille son individualité. Six
feuilles, isolées, étaient couvertes d’écriture des deux côtés; le reste du cahier était
resté blanc : rien n’a été écrit non plus sur le verso de la deuxième feuille ni sur le
recto de la troisième.

Les pages ont un bel aspect. L’écriture en est grosse et nette, disposée sur 6 et
5 colonnes dans les premières pages, sur deux dans les autres. Une marge s’éten-
dait tout autour du texte. Elle a été parfois endommagée en haut et en bas, mais
surtout à la tranche latérale : quelques fragments en ont été détachés ; il manque
quelques lettres au début ou à la fin du plus grand nombre des lignes, ce qui gêne
surtout quand ces lettres représentent des chiffres. A l’intérieur des pages, au
contraire il y a très peu de lacunes.

L’écriture est une sorte de cursive qui se rapproche beaucoup de la minuscule
classique. La forme de certaines lettres et quelques signes spéciaux offrent un réel
intérêt pour le paléographe.

A tout point de vue, il y a deux parties à distinguer dans le manuscrit. La première
est disposée sur un plus grand nombre de colonnes, et en outre, se distingue du
reste par quelques différences d’écriture : le contenu ne s’en joint pas nécessairement
à ce qui suit. C’est d’abord une table de division, puis vient un recueil de problè-
mes. L’un et l’autre sont curieux.

Aucune souscription n’indique la date exacte du manuscrit. Mais il est sûrement
de l’époque byzantine et antérieur à l’invasion Arabe. L’auteur était certainement
un chrétien, comme le prouvent les croix placées en tête ou à la suite de certains
problèmes. La nécropole où le volume a été trouvé, est un cimetière chrétien, d’où
l’on tire ces curieuses broderies coptes que l’on recherche si avidement depuis
quelques années. Elle a pu être remplie du vi e au ix e siècle. La paléographie indique
la mêm^ époque en resserrant un peu les dates. L’écriture n’est pas encore la pure
minuseüle classique du x e siècle; mais certaines formes de lettres sont déjà les
mêmes. Si les lettres d’onciale cursive y sont nombreuses, on peut en attribuer la

4

J. BAILLET

présence à l’influence des chiffres qui sont spécialement représentés par les formes
onciales, ce qui aide à la clarté, sans qu’il y ait toutefois complète exclusion.
L’abréviation y? N° se rencontre souvent dans les papyrus gréco-égyptiens du
Louvre qui sont des vi e et vn e siècles Certaines formes de chiffres sont tout à
fait originales. Celle du stigma se rencontre dans les manuscrits du vn e et du
vm e siècles. C’est vers ce temps, sans doute, qu’il faudrait placer la rédaction de
notre papyrus.

11 °

PALÉOGRAPHIE DU PAPYRUS MATHÉMATIQUE D’AKHMÎM

*

i° De l’alphabet.

L’intérêt de ce papyrus, au point de vue paléographique, est double, selon que
l’on envisage soit le système général d’écriture, soit le système spécial de numé-
ration.

A première vue, le mélange de lettres minuscules et onciales pourrait donner le
change et faire attribuer ce papyrus à une époque postérieure de plusieurs siècles;
mais alors sa présence dans la nécropole d’Akhmîm serait inexplicable. Elle s’expli-
que fort bien au contraire, si l’on suppose que le manuscrit est non de l’époque où
les formes onciales rentrent dans l’écriture, mais de celle où la minuscule ne s’est
pas encore complètement dégagée de la cursive. Notre manuscrit nous fera donc
assister, pour ainsi dire, à la naissance de la minuscule, et pourra renseigner, à l’occa-
sion sur le ductus original de certaines lettres.

Notons donc les diverses formes de chaque lettre. Mais distinguons toujours
avec soin les deux parties du manuscrit où l’emploi n’en est pas tout à fait le même.

"AXç a se fait d’un seul ductus, tous les angles en sont arrondis. Dans la première
partie du manuscrit, il se présente parfois sous la forme cursive pure, panse ronde
et fermée, deuxième jambage oblique (A); dans la seconde la panse est toujours
ouverte et les deux traits se redressent (a, ou u). Quelquefois le second jambage

i. Édition académique, n° s 20 et 21 . — Rev. Égypt., t. III, IV et V passim.

PAPYRUS MATHÉMATHIQ.UE D’AKHMÎM

5

pour se relier à la lettre suivante ne descend pas jusqu a la ligne (cf. table, ligatures
de ai et a a). Parfois, quand a est employé dans les sigles des fractions, le second
jambage au lieu de se relever, descend verticalement.

B?jTa est toujours formé de deux pièces : une hampe droite qui se relève angu-
lairement ou en s’arrondissant, pour former la partie inférieure de la lettre, et une
ligne sinueuse qui enveloppe la première à droite. Tantôt la hampe atteint la hau-
teur totale de la lettre, tantôt la deuxième ligne forme la boucle supérieure tout
entière. Cette lettre dépasse un peu les lignes par le haut et par le bas.

râ(j.ij.a conserve sa forme épigraphique quand il signifie 3, et souvent dans le
texte. Comme lettre et sigle fractionnelle, il se rattache a la lettre précédente, et la
ligne supérieure s’en fait sinueuse, ce qui peut induire en confusion avec d autres
lettres comme 1 et u (■/'). Quelquefois le premier jambage pi end la loi me d une
boucle; jamais il ne se prolonge au-dessous de la ligne.

AéXva, sigle du nombre 4, se présente sous la forme onciale : le trait de gauche
et celui du bas, faits d’un seul coup de plume, angle ou panse arrondie, et le trait
de droite dépassant les premiers toujours par le haut, souvent par le bas. Comme
lettre il ne se rencontre que deux fois et offre alors la forme quil affecte oïdinai
rement comme sigle numérale de 1/4, forme voisine de notre « d » d imprimerie,

où la longueur du trait de droite s’exagère.

■'E'jnXov ne reçoit que dans la première partie du manuscrit l ancienne forme
onciale d’un sigma lunaire fait d’un seul trait et traversé d une barre (g). Parfois
1 il est fait de trois pièces : une hampe très haute, rattachée ou non à la lettre pré-
cédente et se relevant du bas par un angle ou une courbe, le trait supérieur
tracé probablement de gauche à droite, — la barre médiane (cf. Legenda S.Geor-
gii). Le plus souvent, le premier trait est réduit à une demi-boucle qui se rattache
à la lettre précédente, le deuxième et la barre s’exécutent d un seul coup de plume
en se reliant tantôt à droite, tantôt à gauche du trait supérieur; ce second élément
prend diverses formes : demi-boucle avec le trait supérieur commencé par le haut,
angle aigu avec le trait supérieur commencé en bas, accent circonflexe, boucle
entière, chiffre arabe 2; il est très fréquemment séparé du premier; la diphtongue
ei est toujours^éerite au moyen de l’une de ces formes. Dans ce cas, c est toujours
par l’élépfKfnt inférieur que la lettre est commencée; c’est toujours l’élément supé-
rieur qui se relie à' la lettre suivante : il est à croire qu il en a été de même de la

6

J. BAILLET

forme minuscule et que le ductus d’un seul trait, semblable à un G, est postérieur,
s’il existe.

ZrjTa est celui de la cursive aux angles arrondis, et à la ligne inférieure sinueuse.
On ne le trouve dans ce papyrus que comme sigle numéral

*Hva paraît dans la première partie du texte avec des formes onciales. Ordinai-
rement le premier trait s’élève au-dessus de la ligne comme dans la minuscule; le
second se recourbe souvent à droite ou à gauche, et reste libre ou se relie par une
ligne angulaire ou courbe à la lettre suivante. Dans les sigles des fractions on ren-
contre encore une autre forme (Cf. infra).

0yjva est tantôt un ovale allongé traversé d’une barre, tantôt une double boucle
tracée sans lever la plume. Il dépasse le corps des lignes.

’ldha, simple trait vertical, terminé quelquefois par un petit crochet à gauche, se
relie à la lettre précédente. Au problème 18 comme sigle numérale, au probl. 50
dans le mot eïç, il est surmonté d’un double point.

Kora-ria se présente tantôt sous la forme onciale, avec la hampe droite et deux
traits obliques plus ou moins sinueux, tantôt sous la forme minuscule, hampe
prolongée en l’air, traits obliques confondus en un seul jambage vertical arrondi 1
et rattaché au bas de la hampe, tantôt sous des formes intermédiaires, telle que
celle qui se rencontre à la première page des problèmes, dépourvue du prolonge-
ment de la hampe.

Aàp.ëâa se fait de deux traits, dont le second, droit ou sinueux, dépasse le pre-
mier par en haut et souvent par en bas; le premier se réduit souvent à une petite
boucle rentrante, et se relie à la lettre précédente : au probl. 20, il est même relié
à la barre d’abréviation du mot précédent.

Mo a ses jambages arrondis, le premier descend un peu au-dessous de la ligne;
dans la première partie, il y a des p. minuscules parfaits; cette lettre se joint à la
précédente, ordinairement par le bas du premier jambage, quelquefois par le haut
(dans r]p.u<ri, Prob. 3 1).

No présente des formes variées depuis le N épigraphique jusqu’au p minuscule :
le premier jambage est plus ou moins allongé, le second plus ou moins recourbé
en dedans, quelquefois joint à la lettre suivante, quelquefois démesurément éloi-
gné du premier pour remplir la fin d’une ligne (Prob. 13). Dans les mots sçuv et
oîuXrjcrciv (Prob. 38), il offre une forme rare, voisine de notre « n » d’imprimerit;

PAPYRUS MATHÉMATHIQ.UE D’AKHMÎM

7

Sï se compose de trois barres toujours obliquement reliées entre elles; celle du
haut se recourbe souvent, surtout dans la première partie, celle du bas ondule plus
ou moins capricieusement; la lettre dépasse le corps de la ligne, tantôt en haut,

* tantôt en bas, tantôt au-dessus et au-dessous à la fois.

Ojuxpov est tantôt égal au corps des autres lettres, tantôt plus petit; la bou-
'^cle en est plus ou moins bien fermée; il se relie souvent à la lettre précédente,
quelquefois à ses deux voisines (Prob. 30, tto(<x. Prob. 29, arco tcov).

lit, isolé, se présente sous la forme onciale; dans un mot, il s’ouvre par le haut
figurant à peu prés un w qui se relie aux lettres voisines : il ressemble ainsi à deux
v ou à deux y; la forme minuscule (©) n’est pas employée une seule fois.

Pw se fait ordinairement d’une seule pièce en commençant par la boucle du
haut; parfois cependant la hampe descendante s’exécute d’abord et la panse s’y
accole. ^

Ltyp.a offre généralement la forme cursive; il se fait en deux pièces, un arc de
cercle surmonté d’une barre horizontale, plus ou moins droite ou sinueuse, quel-
quefois allongée ou recourbée d’une manière fantaisiste (Prob. 2 & 43); le pre-
mier élément se joint à la lettre précédente, le second à la lettre suivante comme
dans l’e; quelquefois, si les deux traits sont trop rigides, il peut y avoir confusion
avec le r (Prob. 1 7).

TaO, toujours renfermé dans le corps des lignes, tantôt se forme de deux droi-
tes, tantôt se trace d’un seul trait de plume en s’ouvrant par le haut comme le y
et le tc. Au problème 29, la barre horizontale ne se prolonge pas à droite; au
problème 48, la barre verticale est transformée en boucle.

T^tXov est toujours angulaire et sans queue au-dessous de la ligne; il pourrait
parfois se confondre avec y et n. Aux problèmes 30 et sqq., il est placé en l’air
comme souvent les °; au problème 35, il est pointé (ü).

comme sigle numérique, présente souvent la forme cursive (<1>); comme let-
tre, la forme minuscule, faite d’un seul tracé avec une boucle au haut de la hampe.

Xt offre les formes cursives ordinaires.

est tracé différemment dans les deux parties du papyrus : dans la première,
la hampe est traversée d’une barre horizontale recourbée en sens inverse à ses deux
extrémités; dans la deuxième partie, elle passe par le sommet d’un angle renversé,
dont les éléments sont plus ou moins infléchis et recourbés.

8 J. BAILLET

*üp.Eya présente la forme cursive; quelquefois il se rattache à la lettre suivante,
la forme du problème 42 est dûe à une correction.

Pour résumer, des formes angulaires et carrées on ne voit que le T, leJS* l^- Hr
jamais Q, H, E, A, A, A, 0 , S, Z, S; le M est toujours arrondi, le Ô allongé et barré.

Le trait de droite du A et du >. dépasse toujours. Les traits transversaux du K, du
Z, du S, du X ondulent plus ou moins. Les hampes du p, du <p, du ^ dépasent tou-
jours la ligne. D’autres lettres tendent encore à ressortir, tels que le p, l\ le *, le
$, le i-, parfois l’e et le ç. Le y et l’u ne descendent jamais. Certaines formes oncia-
les ne se rencontrent déjà plus : l’a à panse fermée, le <r(y[xa lunaire formé d’un
seul trait, le i en plusieurs morceaux (S). On ne rencontre pas encore les formes
minuscules de l’A (a), du B ( u ), du P (y), de l’E (b), du A (A), du II (o^, du 2
(cr), du double 2 (or), de l’Û (00 ). En revanche on trouve déjà celles du A (0), de
| l’H (fi), du 0 (s), dû K Q, *), du M (p.), du N (p), du S (£, $), du $ (^). Celles

de l’E, de l’A, du T, se rapprochent de la minuscule. A signaler quelques formes
spéciales de l’E, du A (d), du N (n) et du * (w). Les deux parties du papyrus -
offrent des différences pour certaines formes du T, du A, du K, du a, du II, du T,^

du Y.

Il n’y a dans le manuscrit aucune ponctuation. Seulement à chaque problème on
va à la ligne, en laissant un blanc et parfois en traçant une barre (cf. p. 6 et 9). La
première lettre d’une phrase ne se distingue en rien des autres.

I

2 0 Numération et sigles numériques.

■9

Les nombres sont transcrits selon le système ordinaire par les lettres de l’alpha-
bet surmontées d’un trait (a = A, 5 = 1); mais l’omission de ce trait nest pas
moins fréquente que l’application du système. Quelquefois le trait marque que
deux lettres doivent être jointes et les autres isolées Z H NC 0 ( Pr . 4.), mais
S quelquefois il les réunit à tort PIB (Pr. 16) pour PI ; B.

Nous avons noté déjà que les formes ouvertes du T, du ü, du T Représentaient
les lettres à l’exclusion des nombres, auxquels en revanche semblai
les formes majuscules du A et du et que les nombres entiers se
parfois des fractions par la forme seule de la lettre employée.

?nt reservees
iistinguaierrt

!

PAPYRUS MATHÉMATHIQ.UE D’AKHMIM

9

Sigles des nombres entiers.

La j forme des èuuxv^a doit nous arrêter un instant.

Le 'paO se compose d’un arc de cercle comme les éléments inférieurs de l’e et
du a, Priais recourbé en sens inverse au-dessous de la ligne, et d’une barre horizon-
tale jointe au haut de l’arc ( 9 ); cette forme, postérieure à celle des plus anciens
papyrus, se rencontre depuis- l’édit de Dioclétien jusqu’à la minuscule classique;
elle ne donne pas encore l’idée du stigma (cf); les variantes de la première
partie semblent un peu plus anciennes que celles de la seconde (Cf. Iliad. Bauk cT ;
première partie 5 ? deuxième partie 9 ).

Le Qpima n’a pas non plus la même forme dans les deux parties. Dans la
première, l’arc db cercle dépasse le corps de la ligne par en haut et se soude à une
petite queue verticale; dans la seconde au contraire la panse est petite et la queue
descend au-dessous de la ligne.

Le Eip/iu n’est pas arrondi ou carré comme dans les plus anciens papyrus
(7ÏT mais angulaire; il ne reste pas au-dessus de la ligne comme dans les
exemples cités par Bern. Peyron ( v 'j'°), mais il ressemble à celui d’un alphabet de
saint Gall de 956 (' p ) dépassant la ligne en dessous, au moins pour la deuxième
partie du papyrus yK )-

Les deux parties du papyrus différent notablement pour l’expression des mil-
liers. Dans la première, la lettre qui exprime les unités de mille est précédée d’un
trait* oblique qui joint le haut du premier jambage et non le haut de la lettre
comme dans les papyrus cités par Peyron et Bast. Seul le Z fait exception : le trait
est à sa droite. Dans la seconde partie, le trait est toujours à droite, un peu
au-dessous de la lettre et sans y être toujours joint.

Les dizaines de mille ne sont pas non plus représentées de même dans les deux
parties. Le nombre 10,000 figure seul dans la table du début : il s’écrit tantôt
par un I précédé d’un point, tantôt par un petit a un peu en l’air avec un point et
une barre au-dessous. Cet a pointé a une autre signification dans les problèmes,
et les dizaines de mille s’y expriment par une autre méthode. On fait précéder la
lettre qui signifie le nombre de dizaines de mille d’un signe particulier, un cercle
ouvert par le bas avec un point au centre (or = 30,000, ob = 20,000). Proba-
blement ce signe est un dérivé de M, abrégé de jxu piiç, fwpvxSeç, que l’on rencontre

10

J. BAILLET

plus ordinairement inscrit au-dessous de la lettre exprimant le nombre de myriades
(À,n = 20,000, 10,000. Wattenbach, Einleitung tut griechische Paléographie ^

Les nombres multiplicatifs s’écrivent comme les nombres entiers saris aucun
signe distinctif : B iüv IA signifie : le double de 1 1 .

Numération des fractions.

Sur la numération fractionnelle se concentre le principal intérêt, car elle sert de
fondement à tous les calculs contenus dans le papyrus.

Les fractions sont toujours conçues comme des subdivisions ou parties ali—
quotes de l’unité. Les expressions fractionnaires où se trouveraient des numéra-
teurs supérieurs à l’unité, comme 3/15, ne sont pas connues. La fraction 2/3 fait
seule exception. Règle et exception sont conformes aux principes de la numération
égyptienne '.

Il en résulte qu’une fraction ne se désigne jamais que par un seul nombre entier,
celui que nous appelons dénominateur, et dont les anciens disaient qu’il était
l’homonyme de la fraction ou que la fraction en était l’homonyme, to ôuojvu^v
ocütoO pipiov.

De même une fraction se représente par une seule sigle, celle du nombre entier
correspondant, légèrement modifiée pour permettre de les distinguer l’un de
l’autre. Ici encore les deux parties du papyrus emploient deux systèmes qui diffé-
rent entre eux et qui ne sont exactement ni l’un ni l’autre le système usuel. Il y a
aussi une distinction à faire entre les diverses lettres.

Ordinairement un accent ou un trait à droite de la lettre indique quelle doit
être lue comme fraction.

Dans la première partie du papyrus cet accent est remplacé après les lettres y, e,
Ç, Sr, par une boucle dont la queue se relève, tracée à l’extrémité du dernier trait
de ces lettres. Les lettres I, K et B en composition (soit dans 1/42, 1/22 = p.( 3 ,
x( 3 ) ne se distinguent par rien. Peut-être le trait inférieur du Z se prolonge-t-il un
peu dans 1/7. Les lettres a (en composition, par exemple 1/21 =* xa) S, y) affec-
tent, lorsqu’ils signifient des fractions, des formes différentes de celles qu’elles

)

!

1. Cf. Cantor, Geschichte der Mathematik ch. i, et Brügsch, Grammaire démotique ch. v.

PAPYRUS MATH ÉMATHI Q.UE D’AKHMÎM

ii

prennent pour représenter des nombres entiers. Ainsi 4 se trouve toujours écrit
par le A majuscule; 1/4 au contraire par le S minuscule (d S). Le dernier trait de
l’àX<pa, au lieu de se relever après le dernier jambage, se recourbe en arriére; s’il
descendait trop brusquement, il pourrait prêter à confusion avec le qoppa ou avec
la forme que nous allons signaler de l’êta : en ce cas 1/2 1, ou 1/28, ou 20 + 1/90,
ou 1/20 + 1/90 ne se reconnaîtraient guère qu’au contexte. Dans les fractions,
tantôt l’êta garde la forme minuscule, tantôt il en prend une toute particulière :
le deuxième trait se rattache au bas du premier et se prolonge au-dessous de la
ligne, obnnant à la lettre l’aspect non précisément de 1’ « 4 » d’imprimerie, mais
plutôt du ce q » latin, ce qui peut amener la confusion précitée avec l’àXçpa et surtout
le qomra. La fraction 1/2 se représente par un angle obtus, ouvert à droite, dont
le premier trait est vertical. Comme sigle de la fraction 2/3, la seule usitée sans
être aliquote de l’unité, Bast signale dans un papyrus du iv e siècle un [ir^x majus-
cule traversé d’une barre (B); dans les manuscrits de Héron d’Alexandrie, 2/3
est représenté par une figure semblable, dit M. Rodet (Journal Asiatique XVIII,
p. 185), à « un « m » de romain retourné, au dernier jambage de laquelle s’atta-
che le trait noueux qui remplace le double accent pour marquer les fractions » :
la figure qu’il trace, assez voisine du ® minuscule, n’est autre que le (3 minuscule
(u) surmonté du trait numérique, ou traversé par la barre de Bast. Ici on emploie
un signe nouveau (9) et difficile à expliquer, car il ne dérive sensiblement ni du [3
ni de la sigle égyptienne. La forme LQ', employée par les manuscrits des lettres
arithmétiques de Rhabdas, n’est autre chose que le [3 minuscule (u) avec la boucle
qui remplace les accents pour désigner les fractions dans la première partie de
notre papyrus. Elle est vraisemblablement postérieure à celle de notre manuscrit
car elle correspond à la conception de 2/3 comme oluo tpov,- fraction à numé-
rateur 2.

Dans les problèmes les formes susdites de a, 4, S sont aussi employées, mais
aussi bien à ces lettres qu’à toutes les autres est joint un double trait oblique
ou, si l’on veut, un double accent, placé à droite (T : ce double accent se trou-
vait déjà dans les manuscrits d’Héron; mais il s’y expliquait par ce fait que les
nombres entiers y sont indiqués par l’accent simple. Seulement ce double accent
est très fréquemment omis devant une fraction et ajouté fautivement devant un
nombre entier : ces confusions causent une des principales difficultés de la lec-

12

J. BAILLET

ture \ En effet, dans ce papyrus, I, par exemple, signifie ou io, o/T le décuple, ou
le dixième. La sigle de 1/2 est rarement faite de deux traits dro/ts, l'un et l’autre
se recourbent et ondulent; les formes produites sont celles quf ont fait expliquer
cette sigle comme l’abréviation de la première lettre d’. : Ü est toutefois plus

vraisemblable de les expliquer comme une déformation d’un angle purement
conventionnel, que d’imaginer la réduction de traits courbes en lignes droites.
Pour 2/3 la sigle diffère de celle des tables et ne semble pas lui être apparentée;
c’est un angle ouvert à gauche, avec un point dans l’ouverture (>).

Les nombres ordinaux sont rendus par les mêmes sigles que les fractions. Ainsi
au problème 3, on doit rendre toO a”, voO voû y”, etc., par du I er , du 2 e ,
du 3 e , etc.

Afin de compléter de suite l’exposé du système de numération des fractions
dans notre papyrus, ajoutons (ce qui d ailleurs ne lui est pas particulier) que,
pour suppléer à l’absence de fractions à numérateur variable, on les remplace
par une somme équivalente de fractions sans numérateur écrites a cote 1 une de
l’autre sans aucun signe : ainsi 3/4 s’écrira 1/2 1/4 (< d ).

Le nombre fractionnaire se représente de meme en écrivant a la suite sans aucun

signe les quantités qui s’additionnent : 3 1/3 = Ty •

L’article ne qualifie dans ces deux cas que le premier nombre énoncé : voo d”
Xï) " = To0 wràp-tou Xfltl toO elxéar ou èyooou ( Pr . 23), comme <rijç A< = 'rfjç [daç
xal toO rjutaouç (Pr . 38).

3 0 Vocabulaire mathématique et abréviations.

Les opérations à faire sont le plus souvent indiquées par certains mots con-
sacrés, écrits parfois en abrégé. Mais quelquefois rien ne gpide le lecteui : ainsi
au problème 4 : ZHNC doit se lire 7x8= 56; au problème 20 : IZI 0 yi/AC
doit se lire 17 + 19 = 36; et plus loin « emb vwv OE G'71/A I6/C Xefaerat NH »
doit s’entendre « de 75 retranchez 19 (qui est le 17 e du nombre donné 323),
reste 58 ». \

1 . Des confusions semblables ont lieu dans le papyrus égyptien de Londres (Cf. Eisenlof. p. 66). Dans la trans-
cription de ce manuscrit, les majuscules désigneront toujours des nombres entiers; les minuscules, des fractions.

PAPYRUS MATHÉMATHIQ.UE D’AKHMÎM

13

L’addition se marque par xal entre les nombres a additionner, ou crnoie par
p* avec le génitif (Pr. .3, 2., 2 $, 26, *, 37 , 4 <>). K« indique encore simple-
ment que l’on passe à une autre opération. Les mots face ^ of** ao««
indiquent une soustraction. Ordinairement «pX. est abrégé et défigure en «wV = '

il se trouve néanmoins écrit quelquefois en entier (Pr. 29, 30, 31, 3 2 )- es m0 s
Iri L (en abrégé au Pr. 20) entre deux nombres désignent respective-
ment «ne multiplication ou une division. La multiplication par un petit nombre

peut aussi être indiquée par un verbe spécial : (»• 5 *.

Pr 4 o) ( Pr ■ ta, ,6, J0> », (Pr. .8), *», (»• V>\

LtxMqvo, ( Pr . 18); la finale est souvent abrégée. La division peut etre ega-
lement indiquée par un verbe : <1 E pépia», sic I <7 : 60 pattagez-les en 10,

cela fait 6 » (Pr. 47)', «ne seule fois pépia», est éent en entier, partout ai curs on
ne met que les 3 premières lettres avec la barre d'abréviation W /; il* mot «« est
parfois omis '. Une autre formule pour indiquer un produit est ce e-ci . «

NE - le double de 5 5 » (*■ ^ Elfe est trés empl0y6e P ° Ur rep0 ”^ e ‘
question a ai iut ai n; quoi multiplié par quoi fait n », cest-a-dire " que s sont

les facteurs de tel produit? » Elle est plus souvent encore employée avec une
fraction (qui dans ce cas prend l’article neutre), soit dans une donnée « tqc A a»
* 6 " » (Pr. . 6 ), soit pour indiquer une opération qui reste à faire « *»1 ™* a a»
,«■' - reste à prendre 1/1 1 de 6 » (Pr. 14), soit pour répondre à la question <1 é,
tfr* *; » Q-Uel « le sens de cette question? Il y est toujours répondu par
le .produit d’un nombre quelconque par une fraction, par exemp e : « E»

Uf0> y" e" (é”; aû, E ai va”. — Qu’est-ce que 1/3 1/9 t/99- Le i/n e 5
(Pr 8 ) « 'E, nota ifyoi aaOaa; «wv S 1" X" ai pi"-— En quel r'lî»S 2 somme
donnée? c’est l/no de éo ./.o 1/30. » Le mot Wî »c a originairement le sens
de caülou dont on se sert pour calculer. De là, on peut passer au sens de calcul
on trouve en effet ce sens chez Héron d’Alexandrie, où le titre aA»,
signifie « autre procédé de calcul, autre solution * ». Chez certains Peres de Eglise
on trouve encore de ce mot une autre acception. C’est le bizarre calcul qui,
interprétant comme chiffres les lettres d’un nom propre, en fait la somme a

1. (Pr. 1, 11, 37, 48, 49- H est exprimé aux problèmes 3, 4, 10, 27, 33, 34, 35, 3j>, 47, 48, 49)-

'*> Uvvnx l Traité des mesures 25- Cf. Ibid. 2 J

I4 J. BAILLET À / ■

laquelle des propriétés mystiques sont attribuées, ou encore cette somme mystique
même

Il faut bien se garder de confondre cette expression « n jxÉpi crov elç m —
partagez n en m parties » qui marque une division, avec cette autre « X^P t70V
n de, m » ( Pr . 1 6, 50), ou simplement « n elç m » (Pr. 19, 20) qui désigné
une tout autre opération sur laquelle il faudra revenir, et signifie « séparez »
ou « décomposez n en m fractions dont la somme soit équivalente an »,
n représentant la fraction, la somme de fractions ou le nombre fractionnaire

donnés.

Le résultat de l’addition, de la multiplication et de la division (si l’on con-
sidère comme division la multiplication par une fraction) se marque par yi/,
abréviation de yiyvsvai. Celui de la soustraction par Wi, abréviation de
Xefawai. Le mot fiXXwç indique deux solutions possibles, dans le cas ôù l’on
recherche les facteurs d’un nombre. Le résultat final de toutes les opérations, ou
tout au moins d’une série d’opérations, est amené par les mots <bç elvai. La for-
mule &ç elvat bftoo (Pr. 39 ) annonce un résultat récapitulatif, r£vv W , au
problème 4, signifie somme, et to yiyvop-evov, au problème 25, produit.

Les mots ùuèp et xàOapaiç prennent dans ce manuscrit des sens spéciaux et
inusités que nous essayerons de déterminer en expliquant les problèmes ou ils se

rencontrent.

Les premiers problèmes nous offrent les termes géométriques suivants : r.tpi-

1. Eusèbe ( Hist . Eccl. V, 8. Ed. Migne XX, p. 449 ) <Ste le calcul du nom de l’Antéchrist Mfo» *l«
’ Avx ™ 0U jtpooi)fop£aç par un hérésiarque qui déclare que le nombre du nom de la bête de l’Apocalypse ressort
des lettres de ce nom d’après le calcul des Grecs 6 Jp** «3 ôv^axo; xoü 6„p£o U xaxi 4 * xOW ’E^vorv ÿqfov
Stà TWV ev aùxw ypap.p.axwv e^aivsTau

I rénée (I, tS, - Ed. Migne VII, p. 6:6) tourne en ridicule les docteurs qui vous font voir danement
l’origine supra-céleste de Jésus par un calcul de ce genre : vu que les lettres du nom de Jésus IHSOY- lues
comme chiffres et additionnées font 888 et que d’autre part l’alphabet grjx qui sert à tradmre les nom res
comprend 8 lettres servant à écrire les unités, plus 8 dizaines et 8 centaines, ci qui donne la même somme de 888,
Jésus renferme donc en son essence tous les nombres c’est-à-dire toutes las perfections : E/si[{] <»*?“« xcu xr)v
^poupàvcov xoO riM xax’ aéxoù S ^ A 4 x«l xov àX^xov x*v ’EXXijvjttvî tjtc, H*** 3 xxo>, 4
fa., xaï Ixaxo'vxxSa; 3 xxo>, x^v x«v 3 xxaxoaûov à T So^xovx« 3 xxa> tff» Wo^a, xoüx’ M to[v I*«H xov rx

jcàvxwv auvsaiwxa xwv àpt0[xmv. .

Sophocles, Dictionnary, Boston, 1870, sous la rubrique « <|%°! « numerical figure » renvoie encore a Hippolite,

Heres. 372, 45 et Théophane 575, 10 et 664, 9.